Forældre · Matematik · 4.–6. klasse
Algebra og ligninger i 4.–6. klasse
Følg et mønster fra tabel til graf, se regnearternes rækkefølge og løs en ligning med poser og kugler. Med sammenligning af fagplanudkastet og Fælles Mål.
Det korte svar
Algebra på mellemtrinnet handler om at finde mønstre, beskrive sammenhænge og løse problemer med et ukendt tal. I fagplanudkastet skal eleverne bruge blandt andet tegninger, tabeller, grafer og regneudtryk til at forklare det, de finder. Ligninger indgår i det fælles forløb for 4.–6. klasse, som begynder på side 9. Se algebraafsnittet på side 10.
Siden forklarer en foreslået fagplan. Regneeksemplerne er vores egne, ikke officielle opgaver.
Hvad skal eleverne undersøge?
En talfølge kan begynde med 3, 6, 9 og 12. At finde det næste tal er én opgave. At forklare reglen og bruge den til at finde nummer 20 er en anden. Vi vælger reglen, at tallet er tre gange pladsnummeret, så nummer 20 er 60. De første fire tal alene bestemmer ikke én eneste mulig fortsættelse; det er den valgte regel, vi undersøger.
Udkastet beskriver undersøgelser af talfølger, figurfølger og sammenhænge, hvor én størrelse afhænger af en anden. Samme sammenhæng kan vises med konkrete materialer, tegninger, tabeller, grafer eller udtryk med variable. Målet omfatter også mundtlige begrundelser. Se afsnittet Algebra, side 10.
Eleverne skal desuden arbejde med reglerne for regning med naturlige tal: hvordan regningsarterne hænger sammen, og hvilken rækkefølge man regner i. Det indgår sammen med opstilling og fortolkning af regneudtryk og ligninger.
Fra mønster til tabel og graf
I vores mønster kalder vi pladsnummeret n og tallet på pladsen y. Reglen er y = 3 · n. Bogstavet n kan stå for forskellige positive hele pladsnumre; det er ikke navnet på én bestemt ukendt værdi.
| Pladsnummer n | Beregning 3 · n | Tal y |
|---|---|---|
| 1 | 3 · 1 | 3 |
| 2 | 3 · 2 | 6 |
| 3 | 3 · 3 | 9 |
| 4 | 3 · 4 | 12 |
| 5 | 3 · 5 | 15 |
Grafen viser de samme fem par som punkterne (1, 3), (2, 6), (3, 9), (4, 12) og (5, 15). Pladsnummeret læses vandret og tallet lodret. Punktet (4, 12) fortæller derfor, at der står 12 på plads nummer 4.
Her bruger vi hele pladsnumre og tegner derfor adskilte punkter. Der er ingen plads nummer 2,5 i talfølgen. Grafen er et udsnit med fem punkter; reglen kan også bruges uden for udsnittet. For n = 20 bliver y = 3 · 20 = 60. I kan vise samme regel med klodser: læg tre klodser på hver plads og tæl det samlede antal frem til den valgte plads.
Hvad skal regnes først?
Vores to udtryk 2 + 3 · 4 og (2 + 3) · 4 giver forskellige svar. Uden parentes regnes multiplikationen først: 3 · 4 = 12, og 2 + 12 = 14. Med parentes regnes summen i parentesen først: 2 + 3 = 5, og 5 · 4 = 20. De samme tal kan altså beskrive forskellige beregninger.
Ved de fire regningsarter regner man parenteser først, derefter multiplikation og division, og til sidst addition og subtraktion. Regningsarter på samme niveau udføres fra venstre mod højre. Derfor er 12 : 3 · 2 = 4 · 2 = 8, ikke 12 : 6 = 2. Tilsvarende er 10 − 3 + 2 = 7 + 2 = 9.
Et eksempel på en ligning
Tre ens poser og to løse kugler indeholder tilsammen 17 kugler. Hvor mange kugler er der i hver pose?
Hvis antallet i en pose kaldes x, kan situationen skrives som 3 · x + 2 = 17. Fjern først de to løse kugler. Så er der 15 kugler i de tre poser, altså fem i hver. Prøv svaret i den oprindelige situation: 3 · 5 + 2 = 17.
Lighedstegnet siger, at de to sider har samme værdi. Derfor trækker vi 2 fra på begge sider: 3 · x + 2 − 2 = 17 − 2, altså 3 · x = 15. Derefter dividerer vi begge sider med 3: x = 15 : 3 = 5. Subtraktion ophæver her additionen af 2, og divisionen ophæver multiplikationen med 3. Det er derfor, regningsarterne kan bruges til at finde tilbage til det ukendte tal.
Forskellen på n i tabellen og x i ligningen er deres rolle i opgaven: Tabellen viser, hvordan værdien skifter med pladsnummeret n. I poseligningen søger vi den ene værdi af x, som gør ligheden rigtig. Det er opgaven, ikke bogstavets navn, der afgør rollen.
Det er vores opgave, ikke ministeriets. Den viser, hvordan en konkret situation, en tegning af poser og et regneudtryk kan beskrive det samme problem. Udkastet nævner netop løsninger, der bygger på sammenligning af regneudtryk og forskellige fremstillinger. Se målene på side 10.
Fra Fælles Mål til fagplanen
Fælles Mål omfatter allerede enkle ligninger, algebraiske udtryk og brug af variable efter 6. klasse. Der nævnes også uformelle metoder til at løse ligninger. Se Fælles Mål, side 7, under Algebra.
I fagplanudkastet beskrives algebra under matematiske kerneidéer. Sammenhængen mellem mønstre, fremstillinger og ligninger foldes ud i et samlet afsnit for 4.–6. klasse. Algebra bliver dermed ikke introduceret som et helt nyt emne. Denne sammenligning viser en forskel i beskrivelsen, men dokumenterer ikke i sig selv, at stoffet bliver sværere eller skal læres tidligere.
Fælles Måls detaljerede færdigheds- og vidensmål er vejledende. Dokumentets forside forklarer forbeholdet om de gældende regler. Se side 1.
Hvordan kan man følge barnets forståelse?
Bed barnet tegne poserne eller forklare, hvorfor de to kugler trækkes fra, før resten fordeles. Skift eventuelt til en lignende opgave med andre tal. Det er vores forslag til samtalen; en enkelt løsning kan ikke afgøre barnets samlede niveau.
For læreren kan samme opgave bruges til at sammenholde elevernes tegninger, forklaringer og regneudtryk. Fagplanudkastet fastsætter ikke, at alle skal bruge præcis metoden her.