Geometri og måling i 4.–6. klasse

Det korte svar

I fagplanudkastet undersøger eleverne på mellemtrinnet polygoner, altså lukkede plane figurer med rette sider. De arbejder blandt andet med vinkler, parallelle sider, symmetri og koordinatsystemer. Måling og beregning omfatter længde, omkreds, areal og rumfang. Se side 10–11.

Siden forklarer et udkast. Indholdet gælder hele trinforløbet 4.–6. klasse, som begynder på side 9, ikke en bestemt uge eller årgang. Regneeksemplerne og figurerne er vores egne, ikke officielle opgaver.

Figurer skal undersøges og beskrives

Udkastet lægger op til at undersøge figurernes egenskaber, tegne figurer med givne egenskaber og beskrive dem i et koordinatsystem. Tegning kan også foregå i et dynamisk geometriprogram. Flytning af figurer indgår i arbejdet. Se afsnittet Geometri og måling på side 10 og målene på side 11.

Et rektangel med navngivne hjørner

Vores rektangel har hjørnerne A = (1, 1), B = (5, 1), C = (5, 4) og D = (1, 4). Forbind dem i den rækkefølge og tilbage til A. Det første tal i et koordinatpar angiver den vandrette placering, det andet den lodrette. Vi bruger samme skala på begge akser: ét trin svarer til 1 cm på en tegning på papir.

Siderne AB og CD er vandrette og parallelle: deres rette linjer mødes ikke, selv hvis de forlænges. AD og BC er tilsvarende lodrette og parallelle. AB har længden 5 − 1 = 4 cm, og AD har længden 4 − 1 = 3 cm. Hver vandret side møder en lodret side i en ret vinkel på 90 grader, skrevet 90°.

Vinklen ved A kan kontrolleres med en vinkelmåler: læg midtpunktet på A og nulretningen langs AB. Læs dér, hvor AD passerer skalaen; aflæsningen skal ligge ved 90°. En upræcis tegning eller placering kan give en lidt anden måling. De angivne koordinater giver den præcise rette vinkel; en aflæsning alene er ikke et bevis.

Flyt alle hjørner efter samme regel

Flyt nu hele rektanglet to trin mod højre og ét trin op. Læg 2 til hvert hjørnes første koordinat og 1 til det andet. A bliver til A′ = (3, 2). Mærket efter bogstavet bruges her til at navngive det flyttede hjørne.

Hjørne	Før flytning	Efter flytning
A → A′	(1, 1)	(3, 2)
B → B′	(5, 1)	(7, 2)
C → C′	(5, 4)	(7, 5)
D → D′	(1, 4)	(3, 5)

Den fuldt optrukne figur er rektanglet før flytningen; den stiplede er efter. A′B′ er stadig vandret og 7 − 3 = 4 cm langt. A′D′ er stadig lodret og 5 − 2 = 3 cm langt. Alle hjørner er flyttet lige langt i samme retning, så figuren har beholdt sine sidelængder, parallelle sider og rette vinkler. Det er en parallelforskydning, ikke en forstørrelse eller en drejning.

I et dynamisk geometriprogram kan eleven indtaste de fire oprindelige koordinater og bruge flyttereglen på hvert punkt. Kontrollen er, at hvert hjørne får præcis samme tilføjelse (2, 1), og at siderne fortsat har længderne 4 og 3. At trække et enkelt hjørne et tilfældigt sted hen er en anden handling og kan ødelægge rektanglet.

Hvor er rektanglets symmetri?

Det oprindelige rektangel kan spejles i den lodrette linje x = 3, så det falder sammen med sig selv: A bytter plads med B, og D med C. Linjen ligger midt mellem de lodrette sider. Den vandrette linje y = 2,5 er også en symmetriakse; her bytter A med D og B med C. I kan kontrollere det på en papirtegning ved at folde langs de to midterlinjer.

Diagonalen fra A til C er derimod ikke en symmetriakse i dette rektangel. Hvis spejlingen skulle bytte B og D, skulle afstandene AB og AD være ens, fordi en spejling bevarer afstande. Men de er 4 og 3 cm. Det er en begrundelse for netop denne figur, ikke blot et gæt ud fra tegningen. Efter parallelforskydningen ligger midterlinjerne ved x = 5 og y = 3,5; figurens symmetri er bevaret, men dens placering er ændret.

Omkreds og areal svarer på forskellige spørgsmål

Et rektangel er 4 cm langt og 3 cm bredt. Omkredsen er længden hele vejen rundt: 4 + 3 + 4 + 3 = 14 cm. Arealet er fladen inden i figuren: 4 · 3 = 12 cm².

Prøv at tegne rektanglet på papir med kvadratiske tern på 1 × 1 cm. Følg kanten med en finger, og tæl derefter de 12 kvadrater inden i figuren. Hvert kvadrat har arealet 1 cm². Kanten og fladen beskriver forskellige ting og måles med forskellige enheder.

Udkastet omfatter måling af vinkler, længder, areal og rumfang samt udvikling af beregningsstrategier for omkreds og areal i udvalgte polygoner. Det foreskriver ikke netop vores rektangelopgave. Se side 10.

Rumfang: hvor meget kan der være i kassen?

Forestil jer en kasse med indvendige mål 4 cm, 3 cm og 2 cm. Hvis den fyldes med kuber med sidelængden 1 cm, er der plads til 12 kuber i det nederste lag og 12 i det næste. Rumfanget er 24 cm³.

Eksemplet er vores forklaring af rumfang af kasser, som udkastet nævner. Det skal ikke forveksles med kassens overfladeareal. Se side 10–11.

En cirkel: kanten eller fladen?

Tegn en cirkel med centrum O og radius 3 cm. Radius er afstanden fra centrum til cirklens kant. En diameter går fra kant til kant gennem centrum og er dobbelt så lang: d = 2 · 3 = 6 cm. Cirklens omkreds er længden hele vejen rundt. Forholdet mellem omkreds og diameter er tallet π, som udtales pi. Til vores beregninger bruger vi tilnærmelsen 3,14.

Omkredsen er O = π · d = 2 · π · r. Med r = 3 cm får vi 6π cm, cirka 18,85 cm med lommeregnerens π-tast. Bruger vi 3,14, får vi 18,84 cm. Forskellen skyldes afrundingen af π, ikke forskellige cirkler. En snor rundt om en rund genstand kan bruges til at sammenligne omkreds og diameter, men en upræcis måling giver ikke den præcise værdi af π.

Arealet af den cirkelflade, kanten omslutter, er A = π · r². Her er r² = 3 · 3 = 9 cm², så arealet er 9π cm², cirka 28,27 cm². Diameteren skal ikke sættes ind på radius’ plads: π · 6² ville give fire gange så stort et areal. Vil I sætte bånd langs kanten, skal I bruge omkredsen i cm. Vil I dække fladen med papir, er det arealet i cm², I skal finde.

Hvorfor indgår r²? Forestil jer cirkelfladen delt i mange smalle sektorer, som små lagkagestykker. Lægges de skiftevis med spidsen op og ned, nærmer formen sig et rektangel. Højden nærmer sig r, og bredden nærmer sig halvdelen af omkredsen, π · r. Produktet bliver π · r². Få brede stykker giver kun en grov illustration; argumentet bygger på stadig smallere sektorer.

Fold en kasse af seks rektangler

Nettet nedenfor kan foldes til en lukket kasse på 4 × 3 × 2 cm. Alle seks flader er tegnet i samme målestok. Tallene angiver målene i cm; størrelsen på skærmen er ikke en centimeterskala. Tegn efter målene på papir, hvis I vil folde modellen. Vi ser bort fra papirets tykkelse.

Klip kun langs den ydre kant. Fold langs de fem stiplede linjer: først de fire sider op omkring bunden, så låget hen over åbningen. Der er ingen limflapper i tegningen; modellen kan holdes sammen med tape. De to flader på 4 × 3 cm ligger over for hinanden, ligesom de to på 4 × 2 og de to på 2 × 3. Hvis en flade mangler, kan kassen ikke lukkes.

Nettet viser overfladearealet direkte: 2 · 12 + 2 · 8 + 2 · 6 = 52 cm². Det er de seks fladers samlede areal. Kassens rumfang er stadig 4 · 3 · 2 = 24 cm³. At tælle fladernes kvadrater og at fylde kassen med kuber er to forskellige opgaver.

En kasse er et polyeder, altså en rumlig figur afgrænset af plane polygoner. Denne kasse har seks rektangulære flader, tolv rette kanter og otte hjørner. En ret cirkulær cylinder har to lige store cirkelformede endeflader og en krum sideflade, men ingen hjørner. Den er derfor ikke et polyeder.

Cylinderens sideflade kan rulles ud til et rektangel. Ved radius 3 cm og højde 2 cm er rektanglets højde 2 cm og længde 6π cm, cirka 18,85 cm: det skal nå én gang rundt om cirklen. De to endeflader er cirkler med radius 3 cm. En tegning med kun rektanglet viser derfor et åbent rør, ikke hele den lukkede cylinders overflade.

Fra Fælles Mål til fagplanen

Fælles Mål beskriver allerede geometriske undersøgelser og måling efter 6. klasse. Oversigten omfatter blandt andet koordinatsystem, omkreds, areal og rumfang. Se side 7, under Geometri og måling.

I udkastet er geometri og måling en del af matematiske kerneidéer. Afsnittet for mellemtrinnet nævner polygoner og kasser udtrykkeligt. Emnerne er derfor ikke nye som helhed. Denne sammenligning er afgrænset til de nævnte punkter; den afgør ikke, om alle geometriske emner har samme placering i de to dokumenter.

Fælles Mål nævner også π efter 6. klasse samt cirklers omkreds og areal, polyedre, cylindre og tegning af rumlige figurer. Se trinoversigten på side 7 og geometrioversigten på side 11, som gentager geometriens mål. I udkastets geometri for 4.–6. klasse er de navngivne figurer polygoner og kasser; cirkler og cylindre står ikke udtrykkeligt i dette afsnit. Det betyder ikke, at de er forbudt eller fjernet fra undervisningen. Vores cirkel- og cylinderforklaringer gør de konkrete emner fra Fælles Mål forståelige, mens kassen også knytter sig direkte til udkastet. Eksemplerne er vores egne, ikke nye officielle opgaver.

Fælles Måls detaljerede færdigheds- og vidensmål er vejledende. Læs dokumentets forbehold på side 1.

Hvad kan I spørge om hjemme eller i klassen?

Prøv at spørge, om to figurer kan have samme omkreds, men forskelligt areal. Et rektangel på 1 × 5 cm og et på 2 × 4 cm har begge omkredsen 12 cm, men arealerne er 5 og 8 cm². Tegn dem og sammenlign.

Det er et redaktionelt undersøgelsesforslag. Brug klassens aktuelle arbejde som udgangspunkt, og lad barnets tegning eller forklaring styre den næste samtale.