Funktioner og ligninger i 7.–9. klasse

Fra en sammenhæng til en forskrift

Algebra i fagplanudkastet omfatter funktioner, regneregler og ligninger. Eleverne skal kunne forbinde mundtlige forklaringer, tabeller, grafer og forskrifter og begrunde sammenhængen mellem dem. Der indgår både lineær og ikke-lineær vækst. Se indholdet på side 12 og målene på side 13.

Regneeksemplerne er vores egne og er ikke officielle prøveopgaver.

Samme tilvækst eller samme faktor?

En talrække kan vokse med 10 ad gangen: 100, 110, 120, 130. En anden kan vokse med 10 procent hver gang: 100, 110, 121, 133,1. De begynder ens, men udvikler sig forskelligt.

Antal trin x	100 + 10x	100 · 1,1ˣ
0	100	100
1	110	110
2	120	121
3	130	133,1

Den første forskrift giver en lineær sammenhæng med en fast tilvækst. Den anden giver eksponentiel vækst, hvor man ganger med samme faktor for hvert trin. Tabellen gør forskellen synlig, og punkterne kan tegnes i et koordinatsystem. For den lineære sammenhæng ligger de på en ret linje.

Et lille program kan gentagne gange lægge 10 til et starttal eller gange det med 1,1. Det giver en måde at undersøge de to udviklinger på. Udkastet nævner programmerbare digitale værktøjer til undersøgelser af vækst og omfatter eksponentielle funktioner som et eksempel på ikke-lineære funktioner. Se side 12.

Hvad fortæller tallene i en forskrift?

Forestil jer to ordninger til et værksted. A koster 40 kr. i fast betaling og 15 kr. pr. besøg. B koster 25 kr. pr. besøg uden fast betaling. Priserne er opdigtede til regneeksemplet. Vi sammenligner samme periode og antager, at der ikke er andre gebyrer.

Hvis x er antal besøg, er prisen i kroner A(x) = 40 + 15x og B(x) = 25x. Skrivemåden A(2) betyder prisen for to besøg med A. Den er 40 + 15 · 2 = 70 kr. Til hvert tilladt antal besøg knytter forskriften én pris.

Besøg x	A, kr.	B, kr.
0	40	0
2	70	50
4	100	100
6	130	150

I A er 40 startværdien: Den faste betaling gælder også ved nul besøg. Tallet 15 fortæller, hvor meget prisen stiger for ét ekstra besøg. Fra to til fire besøg stiger den derfor med 2 · 15 = 30 kr. Begge forskrifter er lineære, men kun B er proportional med antal besøg. Når antallet fordobles fra to til fire, fordobles B fra 50 til 100 kr., mens A går fra 70 til 100 kr.

På en graf sættes antal besøg på den vandrette akse og kroner på den lodrette. Tabellen giver blandt andet punkterne (2, 70) og (4, 100) for A. En ret linje gennem A-punkterne skærer den lodrette akse ved 40 og stiger 15 kr. for hver enhed mod højre. I denne opgave tæller vi hele besøg; et punkt ved x = 2,5 er en del af den tegnede linje, men ikke en pris for et tilladt antal besøg.

Hvornår koster ordningerne det samme?

Tabellen viser samme pris ved fire besøg. Det kan også findes uden først at udfylde tabellen: Sæt forskrifterne lig hinanden, 40 + 15x = 25x. Træk 15x fra på begge sider. Så står der 40 = 10x. Del begge sider med 10, og få x = 4. Kontrollen giver A(4) = 100 og B(4) = 100.

Omskrivningen bevarer de løsninger, ligningen har: Vi trækker det samme udtryk fra to størrelser, der skal være lige, og deler derefter begge sider med samme tal, som ikke er nul. Hvis vi kun trækker 15x fra venstre side, får vi 40 = 25x. Det giver x = 1,6, som ikke opfylder den oprindelige ligning: Venstre side bliver 64, mens højre bliver 40.

På grafen mødes linjerne i (4, 100). Her er x-værdien svaret på “hvor mange besøg?”, og y-værdien er den fælles pris. A har den mindste stigning, men den faste betaling gør A dyrere i starten. Forskellen A(x) − B(x) er 40 − 10x. Derfor er B billigst ved nul til tre hele besøg, priserne ens ved fire, og A billigst fra fem besøg i vores model.

To ligninger, der skal passe samtidig

Vi kan skrive de to værkstedspriser som et ligningssystem. Her er x antal besøg, og y er prisen i kroner. Vi leder efter ét par (x, y), der opfylder begge ligninger:

Ordning	Ligning
A	y = 40 + 15x
B	y = 25x

Fordi begge højresider skal være lig med samme y, sætter vi 40 + 15x = 25x. Det giver 40 = 10x og dermed x = 4. Sæt nu 4 ind i den anden ligning: y = 25 · 4 = 100. Løsningen er altså parret (4, 100), ikke blot tallet 4. Kontrollen i den første ligning giver 100 = 40 + 15 · 4; i den anden giver den 100 = 25 · 4. Begge passer.

På grafen er løsningen det fælles punkt på de to linjer. Punktet (2, 70) ligger på A’s linje, men ikke på B’s: Ved to besøg koster B 50 kr. At et punkt passer til én ligning er derfor ikke nok. I dette system giver omskrivningen kun én x-værdi, og den bestemmer én y-værdi. Andre systemer kan have et andet antal løsninger; vores eksempel viser to linjer med ét skæringspunkt.

Hvornår er A billigere? Skriv det som en ulighed

Spørgsmålet “Hvornår er A billigere end B?” kan skrives 40 + 15x < 25x. Tegnet < betyder mindre end. Vi trækker 15x fra begge sider og får 40 < 10x. Division med det positive tal 10 giver 4 < x, altså x > 4.

Som en ulighed for reelle tal har den alle tal større end 4 som løsninger. I værkstedsopgaven må x kun være et helt tal på mindst nul. Her er løsningsmængden derfor {5, 6, 7, …}: fem eller flere hele besøg. Tallet 4,5 opfylder uligheden, men er ikke et tilladt antal besøg. Fire er heller ikke med i løsningen, fordi priserne dér er ens.

Antal besøg	A	B	Er A billigere?
3	85 kr.	75 kr.	Nej
4	100 kr.	100 kr.	Nej, samme pris
5	115 kr.	125 kr.	Ja

Tabellen kontrollerer grænsen. Omskrivningen forklarer, hvorfor alle de tilladte antal over fire virker, ikke kun det ene eksempel med fem besøg. Hvis spørgsmålet i stedet var “Hvornår koster A højst det samme som B?”, ville vi bruge ≤ og få x ≥ 4. Så ville fire besøg være med.

Man kan også trække 25x fra begge sider i den oprindelige ulighed. Så får man 40 − 10x < 0 og derefter −10x < −40. Dividerer man begge sider med −10, skal ulighedstegnet vendes: x > 4. Multiplikation eller division med et negativt tal vender rækkefølgen. For eksempel er 2 < 3, mens −2 > −3. At lægge samme tal til eller trække samme tal fra begge sider vender ikke tegnet.

Spørg barnet, hvorfor svaret er ét talpar ved ligningssystemet, men mange mulige antal besøg ved uligheden. Begge regnestykker bruger de samme opdigtede priser. De besvarer forskellige spørgsmål.

Hvad betyder det at omskrive et udtryk?

Udtrykket 3(x + 2) betyder tre gange hele parentesen. Det kan omskrives til 3x + 6. Man ganger altså både x og 2 med 3. Ved x = 4 giver begge udtryk 18.

Reglen kaldes distributiv. Udkastet nævner den som en del af arbejdet med at omskrive algebraiske udtryk og bruge regneregler for reelle tal. Se side 12. En prøve med ét tal kan være et tjek, men er ikke i sig selv et bevis for, at en regel gælder for alle tal.

To måder at finde et ukendt tal

Se på ligningen 3x + 6 = 21. Ved at trække 6 fra på begge sider får man 3x = 15. Derefter deles begge sider med 3, så x = 5. Kontrol i den oprindelige ligning giver 3 · 5 + 6 = 21.

Den kan også undersøges grafisk. Tegn y = 3x + 6 og y = 21 i samme koordinatsystem. Deres skæringspunkt har x-værdien 5. Den algebraiske løsning og grafen beskriver samme værdi af det ukendte tal. En aflæsning på skærmen kan være upræcis, så det er nyttigt også at kontrollere resultatet i udtrykket.

Udkastets mål nævner netop grafisk og algebraisk løsning af lineære ligninger og fleksibelt valg af fremgangsmåde. At et emne omfatter ikke-lineære funktioner betyder ikke, at de citerede mål kræver alle slags ikke-lineære ligninger løst med en bestemt formel. Se målene på side 13.

Fra Fælles Mål til fagplanen

Fælles Måls kompetencemål efter 9. klasse omfatter allerede brug af algebraiske udtryk i matematiske undersøgelser. Se side 4. Fagplanudkastet beskriver algebra inden for matematiske kerneidéer og angiver blandt andet forbindelsen mellem forskrift, tabel og graf.

Den detaljerede Fælles Mål-tabel nævner lineære og ikke-lineære funktioner, enkle uligheder og enkle ligningssystemer. Se side 8. Udkastets algebraafsnit nævner eksponentielle funktioner som eksempel på ikke-lineære funktioner, mens målet for ligningsløsning specificerer lineære ligninger. Enkle uligheder og ligningssystemer er ikke navngivet i dette afsnit. Se side 12–13.

Det er en konkret forskel i beskrivelserne. Den betyder ikke i sig selv, at lærere skal undlade et emne, eller at ikke-lineære funktioner er nye. Fælles Mål-dokumentets forside oplyser, at de detaljerede færdigheds- og vidensmål er vejledende. Fagplanen er stadig et udkast. Læs forbeholdet på Fælles Måls forside.

Værkstedseksemplet viser en forbindelse mellem beskrivelserne. At bruge en lineær funktion til at beskrive en pris passer til funktioner i Fælles Måls tabel. At forklare, hvorfor 40 i forskriften også er grafens startværdi og tabellens pris ved nul besøg, konkretiserer udkastets mål om forbindelser mellem repræsentationer. Fælles Mål omtaler også repræsentationer, så selve idéen om at bruge flere fremstillinger er ikke ny. Dette er vores sammenligning af Fælles Mål på side 8 med udkastets mål på side 13, ikke en opgave, dokumenterne foreskriver.

Ligningssystemet og uligheden ovenfor udfolder to af de tidligere formuleringer. Under ligninger efter 9. klasse nævner Fælles Mål opstilling og løsning af ligninger og enkle uligheder i fase 2 samt enkle ligningssystemer og viden om deres grafiske løsning i fase 3. Det står både i trinoversigten på side 8 og i fagområdets samlede tabel på side 10. Det er samme indhold vist to steder, og faserne er ikke skoleår. Vores opgave kan forbinde disse formuleringer med udkastets bredere arbejde med variable, funktioner og lineære ligninger, men udkastets algebraafsnit kræver ikke udtrykkeligt uligheder eller ligningssystemer. Se side 12 og side 13.

Spørg til sammenhængen

Bed barnet vise, hvor et tal i tabellen kan findes i forskriften eller på grafen. Ved ligningen kan I spørge, hvorfor der skal trækkes det samme fra på begge sider. Det er vores forslag til samtalen. Læreren kan fortælle, hvilke repræsentationer og løsningsmåder klassen arbejder med nu.