Tal og regnestrategier i 7.–9. klasse

Hvorfor kommer der flere slags tal?

Hele tal er ikke nok til at beskrive enhver længde eller del af en helhed. I fagplanudkastet skal eleverne i 7.–9. klasse undersøge naturlige, hele, rationale og reelle tal og forklare ligheder og forskelle. Der indgår også forholdsregning og valg af regnestrategier. Se tal og regnestrategier, side 12.

Eksemplerne er vores egne. De er ikke en liste over, hvad alle elever skal kunne på en bestemt dato i 7. klasse.

Fra hele tal til reelle tal

Tallet 5 er et naturligt tal. −5 er et helt tal, men ikke et naturligt tal. Begge kan også skrives som brøker med hele tal, for eksempel 5/1 og −5/1, og er derfor rationale. Det er 3/4 også; brøken kan skrives som 0,75.

Reelle tal omfatter både de rationale og de irrationale tal. Kvadratroden af 2 er et eksempel på et irrationalt tal: det kan ikke skrives præcist som en brøk mellem to hele tal. Decimalværdien 1,414 er en tilnærmelse, ikke det nøjagtige tal.

Det kan efterprøves, at netop afrundingen ikke er den præcise rod: 1,414 · 1,414 = 1,999396, mens √2 · √2 = 2. Regnestykket beviser ikke i sig selv, at √2 er irrationalt; det viser kun, at dette endelige decimaltal ikke er lig med √2. Det er vores kontrol af et afrundet tal, ikke et krav om at kende decimalerne udenad.

En tallinje kan vise tallenes placering. Et kvadrat med sidelængde 1 har en diagonal med længden √2, så en tegning eller en konkret model kan forbinde tallet med geometri. Udkastet nævner konkrete, visuelle og symbolske fremstillinger af reelle tal. Se side 12.

Forhold og procent

I vores blandingseksempel bruger vi én del koncentrat og fire dele vand. Delene måles med samme enhed, og vi antager, at mængderne kan lægges sammen. Der er fem dele i alt. Koncentratet udgør derfor 1/5 af blandingen, altså 20 procent. Forholdet mellem koncentrat og vand er derimod 1:4. Det er to forskellige måder at beskrive den samme blanding på.

Et procentfald kan også kræve, at man holder styr på helheden. En tænkt vare til 400 kroner bliver sat 25 procent ned. Rabatten er 100 kroner, og den nye pris er 300. Hvis prisen derefter stiger 25 procent, beregnes stigningen af 300: 75 kroner. Slutprisen bliver 375, ikke 400.

Opgaverne viser, hvorfor eleverne skal kunne forklare, hvilket tal en procent regnes af. Udkastet omfatter fleksible strategier til regning med forhold, procent og rationale tal. Se side 12.

Potenser, kvadratrødder og primtal

3² betyder 3 · 3 og er 9. √9 er 3, fordi 3 er det ikke-negative tal, hvis kvadrat er 9. Bemærk forskellen mellem √9 og ligningen x² = 9: ligningen har både 3 og −3 som løsninger.

Et primtal er et helt tal større end 1, som kun er deleligt med 1 og sig selv blandt de positive hele tal. Tallet 7 er et primtal; 12 er ikke, for 12 = 3 · 4. At undersøge sådanne egenskaber er også en del af udkastets talafsnit. Se side 12.

Hvornår giver et digitalt værktøj mening?

Udkastet nævner hovedregning, overslag og CAS, som blandt andet kan arbejde med symbolske udtryk. Et værktøj kan for eksempel vise en decimaltilnærmelse til √2. Barnet skal stadig kunne forklare, hvad tallet beskriver, og hvorfor et afrundet resultat ikke er helt præcist.

Ved 25 procent af 400 kan hovedregning være tilstrækkeligt. Ved andre tal kan et digitalt værktøj være praktisk. Pointen i udkastets mål er at vælge og tilpasse strategien til situationen og tallene, ikke at bruge samme metode hver gang. Se målene på side 12.

Fra Fælles Mål til fagplanen

Reelle tal indgår allerede i Fælles Måls kompetencemål efter 9. klasse. Se side 4. Fagplanudkastet beskriver tal og regnestrategier som en del af matematiske kerneidéer og udfolder, hvordan eleverne skal bruge og sammenligne forskellige taltyper.

Den detaljerede Fælles Mål-tabel nævner potenser, rødder, irrationale tal og procentuel vækst, herunder rentevækst. Se side 8. Udkastets talafsnit navngiver blandt andet primtal, forholdsregning og CAS. Det er en forskel i, hvad afsnittene fremhæver. Den dokumenterer ikke, at potenser eller digitale beregninger er nye, eller at renteeksempler ikke længere kan bruges.

Fælles Måls forside forklarer, at de detaljerede færdigheds- og vidensmål er vejledende. Se side 1. Sammenligningen skal læses med det forbehold og med fagplanens status som udkast.