Geometri og formler i 7.–9. klasse

Forstå ligedannethed, Pythagoras og begrundelser for geometriske formler. Med eksempler og konkrete forskelle mellem fagplanudkastet og Fælles Mål.

Hvorfor gælder formlen?

I fagplanudkastets geometri for 7.–9. klasse skal eleverne både bruge og begrunde sammenhænge. De skal undersøge figurer, konstruere dem ud fra givne egenskaber og arbejde med formler for omkreds, areal og rumfang. Trinforløbet begynder på side 12; geometrien står på side 13. Læs geometriafsnittet.

Eksemplerne er vores egne og viser mulige forklaringer, ikke en fast undervisningsrækkefølge.

Samme form er ikke altid samme størrelse

Kongruente figurer har samme form og størrelse. Ligedannede figurer har samme form, mens størrelsen kan være forskellig. To rektangler på 2 · 3 og 4 · 6 centimeter er for eksempel ligedannede: alle tilsvarende længder er ganget med 2.

Deres omkredse er 10 og 20 centimeter, men arealerne er 6 og 24 kvadratcentimeter. Når længderne fordobles, bliver arealet altså fire gange så stort i eksemplet. Man kan undersøge det ved at dække det store rektangel med fire kopier af det lille.

Udkastet omfatter undersøgelser af både kongruente og ligedannede figurer. Elevernes begrundelser skal bygge på definitioner, kendte sammenhænge og logiske slutninger. Se målene på side 13.

Hvorfor er trekantens vinkelsum 180 grader?

Her er vores eget bevis i plan geometri. Vi bruger to kendte vinkelregler: En lige vinkel er 180°, og ensliggende vinkler ved parallelle linjer er lige store. Vi bruger også, at topvinkler er lige store. Reglerne gør det muligt at flytte vinklerne i forklaringen uden at måle dem.

Tegn trekanten ABC med A og B nederst. Gennem C tegner du en linje parallel med AB. Kald vinklerne ved A, B og C for α, β og γ. Forlæng om nødvendigt siderne AC og BC gennem C, så du kan finde de ensliggende vinkler og deres topvinkler.

Trekant ABC med en linje gennem C parallel med AB. Vinklerne ved A og B hedder α og β. Under linjen ved C ligger α, trekantens vinkel γ og β ved siden af hinanden på en lige linje.

Ved C er vinklen mellem den venstre parallelle stråle og siden CA lig med α: Den er topvinkel til den ensliggende vinkel ved skæringen med AC. På samme måde er vinklen mellem CB og den højre parallelle stråle lig med β. Under den parallelle linje ligger derfor α, γ og β ved siden af hinanden og fylder præcis en lige vinkel. Det giver α + γ + β = 180°.

Der indgår ingen målte vinkler i argumentet. Det gælder for enhver almindelig trekant i planen, også når trekanten er skæv, spidsvinklet eller stumpvinklet. Tre målte vinkler tæt på 180° ville kun være en kontrol af den tegnede trekant.

Pythagoras gælder for retvinklede trekanter

Hvis de to korte sider i en retvinklet trekant er 3 og 4 centimeter, giver Pythagoras’ sætning 3² + 4² = c². Det bliver 9 + 16 = 25, så den længste side c er 5 centimeter.

Den rette vinkel er en nødvendig betingelse. Sætningen må ikke bruges på en vilkårlig trekant, bare fordi man kender to sider. Udkastet nævner argumentation for geometriske sætninger, herunder Pythagoras samt sætninger om vinkler og linjer. Se side 13.

Et bevis med fire trekanter

Beregningen med 3 og 4 viser, hvordan sætningen bruges. Her er vores eget arealbevis for alle retvinklede trekanter med positive sidelængder. Kald kateterne, altså siderne omkring den rette vinkel, a og b. Kald hypotenusen, siden over for den rette vinkel, c.

Tegn et kvadrat med sidelængden a + b. Læg fire ens retvinklede trekanter i kvadratets hjørner, én i hvert hjørne, med de rette vinkler udad. Lad deres kateter følge kvadratets sider, sådan at a og b tilsammen fylder hver yderside. Hypotenuserne vender ind mod et hul i midten.

Arealbevis: Fire ens retvinklede trekanter ligger i hjørnerne af et kvadrat. Hver yderside består af a og b. Trekanternes hypotenuser af længden c danner siderne i det indre kvadrat.

Hvorfor er hullet et kvadrat? Alle fire sider har længden c. Ved hvert hjørne af hullet mødes de to forskellige spidse vinkler fra trekanterne. De er tilsammen 90°, fordi trekantens vinkelsum er 180°, og dens tredje vinkel er ret. Hullets vinkel er resten af en lige vinkel: 180° − 90° = 90°. Hullet har altså både fire lige lange sider og fire rette vinkler.

Det store kvadrats areal er (a + b)². Hver trekant har arealet ab/2, og hullet har arealet c². Trekanterne og hullet fylder kvadratet uden overlap, så (a + b)² = 4 · ab/2 + c². Gang parentesen ud: a² + 2ab + b² = 2ab + c². Træk 2ab fra på begge sider. Tilbage står a² + b² = c².

Beviset bygger på arealet af et kvadrat og en trekant, trekantens vinkelsum og almindelig regning med parenteser. Ingen bestemt længde er sat ind, og ingen afstand er målt på tegningen. Derfor forklarer det sammenhængen generelt, hvor 3–4–5-beregningen kun viser en anvendelse.

Byg en formel ud fra figuren

Et rektangel med længde l og bredde b har to sider af hver længde. Derfor er omkredsen 2l + 2b. Et parallelogram kan klippes og omformes til et rektangel med samme grundlinje og højde. Arealet bevares ved omformningen, så formlen bliver grundlinje gange højde.

Rumfanget af en rektangulær kasse kan undersøges med lag af enhedsterninger. Brug for eksempel indvendige mål på 5 cm, 2 cm og 3 cm og terninger med sidelængden 1 cm. Hvert lag består af 5 · 2 = 10 terninger. Tre lag giver 30 terninger, hver med rumfanget 1 cm³. Kassens rumfang er derfor 30 cm³. De hele centimetermål gør, at terningerne passer præcist i dette eksempel.

Opdelingen i lag kan bruges til at forklare formlen længde · bredde · højde. Eksemplerne viser, hvordan en beregning kan begrundes ved at opdele, sammensætte eller omforme figurer, som udkastet beskriver. Se side 13.

Hvad kan et geometriprogram vise?

I et dynamisk geometriprogram kan en figur konstrueres med bestemte egenskaber og derefter ændres. Bygger man en retvinklet trekant med en vinkelret konstruktion, kan man flytte et punkt og undersøge, hvad der stadig gælder. Tegner man blot noget, der ser retvinklet ud, er betingelsen ikke nødvendigvis bevaret.

Udkastet nævner konstruktion med givne egenskaber, blandt andet i et dynamisk geometriprogram. Vores eksempel viser, hvorfor konstruktionens betingelser betyder noget for undersøgelsen. Mange målinger kan støtte en antagelse, men erstatter ikke i sig selv en begrundelse for alle tilfælde.

Fra Fælles Mål til fagplanen

Fælles Mål efter 9. klasse omfatter allerede ligedannethed, geometriske beregninger og Pythagoras. Tabellen nævner også trigonometri i retvinklede trekanter, sammenhænge mellem kurver og ligninger samt omskrivning mellem måleenheder. Se side 8.

Udkastets geometri-afsnit navngiver kongruens og ligedannethed og beskriver udvikling og begrundelse af formler. Pythagoras er fortsat nævnt; trigonometri er ikke navngivet i dette afsnit. Se side 13. Det er en forskel mellem de citerede tekster, ikke i sig selv en regel om, at et emne ikke må undervises.

Fælles Måls detaljerede færdigheds- og vidensmål er vejledende, og fagplanen er stadig et udkast. Se Fælles Måls forside.