Modeller og matematiske argumenter i 7.–9. klasse

Hvad betyder det at vurdere en model?

En matematisk model beskriver udvalgte sider af en situation. I fagplanudkastet skal eleverne afgrænse problemer, opstille og anvende modeller og vurdere dem i forhold til den situation, de beskriver. De skal også argumentere for fremgangsmåder og løsninger. Se matematiske tænke- og handlemåder, side 14.

Opgaverne er vores egne; priser og kapaciteter er tænkte tal til matematikundervisning.

Hvor mange busser skal der til?

112 deltagere skal på tur. I opgaven har hver bus plads til 50 deltagere og koster 1.200 kroner. Vi ser kun på antal pladser og buspris og antager, at alle busser er ens.

112/50 = 2,24. Man kan ikke bestille 2,24 hele busser, så der skal bruges tre. To giver kun 100 pladser; tre giver 150 og koster 3.600 kroner. Regnestykket skal altså fortolkes som et antal hele busser, ikke blot afrundes til nærmeste heltal.

For et positivt deltagerantal n kan modellen beskrives sådan: divider n med 50, rund op til et helt antal, og gang med 1.200. Det er en generel regel under opgavens antagelser.

Reglen kan kontrolleres ved en grænse: 100 deltagere kræver to busser til 2.400 kroner, mens 101 kræver tre til 3.600 kroner. Én ekstra deltager kan altså udløse prisen for en hel bus. Modellen gælder her for et positivt helt antal deltagere; den beskriver ikke afbestilling eller en tur uden deltagere.

Er tre store busser den billigste løsning?

Nu ændrer vi vores opgave. Der kan også bestilles mindre busser med 40 deltagerpladser til 1.000 kroner stykket. Begge priser er opdigtede totalpriser for samme tur, og der er nok busser af hver type. Alle 112 deltagere skal kunne køre samtidig. Vi undersøger kun plads og pris, og deltagerne kan fordeles frit mellem busserne.

En stor bus koster 1.200/50 = 24 kroner pr. plads; en lille koster 1.000/40 = 25 kroner pr. plads. Den store er billigst pr. plads, hvis man regner med alle pladserne. Men vi skal betale for hele busser, også de tomme pladser.

Store busser	Små busser	Pladser i alt	Pris for turen
0	3	120	3.000 kr.
1	2	130	3.200 kr.
2	1	140	3.400 kr.
3	0	150	3.600 kr.

Tre små busser giver plads til alle og sparer 600 kroner i forhold til tre store. Tabellen viser alle kombinationer af netop tre busser. For at vide, at vi har fundet den billigste løsning, skal vi også begrunde, hvorfor færre eller flere busser ikke hjælper.

To busser kan højst rumme 2 · 50 = 100 deltagere. Derfor kræves mindst tre busser. Hver bus koster mindst 1.000 kroner, så enhver mulig løsning koster mindst 3.000 kroner. Tre små busser har 120 pladser og rammer præcis den pris. Dermed er de billigst under de aftalte betingelser; vi behøver ikke prøve alle større antal busser.

Den ændrede model har to ubekendte: x store busser og y små. Begge er hele tal på mindst nul. Pladskravet er 50x + 40y ≥ 112, og prisen er 1.200x + 1.000y kroner. Opgaven er at finde den laveste pris blandt de kombinationer, der opfylder pladskravet. Den oprindelige regel med division med 50 beskrev kun én bustype og kan derfor ikke alene løse den ændrede opgave.

Løsningen afhænger af deltagerantallet. Ved 120 deltagere er der stadig plads i tre små busser. Ved 121 mangler der én plads. Her er én stor og to små busser til 3.200 kroner billigst: To busser rækker stadig ikke, tre små er for lidt, de øvrige kombinationer af tre koster mere, og fire busser koster mindst 4.000 kroner. Det er vores kontrol af en ændret forudsætning, ikke en rigtig prisberegning fra et busselskab.

Hvad har modellen udeladt?

Vi har ikke undersøgt andre bustyper, ekstra udgifter eller særlige pladsbehov. Deltagerantallet skal også omfatte alle, der skal med. Ændres de forudsætninger, kan det være nødvendigt at ændre modellen.

En klasse kan sammenligne forskellige forslag: Kan en anden busstørrelse bruges? Hvilke oplysninger mangler? Hvilken løsning er billigst under de aftalte betingelser? Det viser, hvordan samarbejde om et åbent problem kan føre til forskellige strategier, som må forklares og vurderes.

Udkastet beskriver hele arbejdet fra afgrænsning til vurdering, også med modeller af generelle sammenhænge. Se side 14. Modellen bliver ikke dækkende alene af, at divisionen er udført korrekt.

Hvornår er et argument generelt?

3 + 5 = 8 og 7 + 9 = 16 er eksempler på, at summen af to ulige tal er lige. Men to eksempler beviser ikke påstanden for alle ulige tal.

To vilkårlige ulige heltal kan skrives som 2a + 1 og 2b + 1, hvor a og b er heltal. Summen er 2a + 2b + 2 = 2(a + b + 1). Den er delelig med 2 og derfor lige. Argumentet bygger på taltypen og en regneregel, ikke på hvor mange eksempler vi har prøvet.

Det er vores eksempel på et deduktivt ræsonnement. Udkastet nævner deduktive ræsonnementer og faglige drøftelser om begrundelser for fremgangsmåder og løsningsforslag. Se side 14.

Ét modeksempel kan afkræfte en påstand

Prøv en anden påstand: “Alle ulige tal større end 1 er primtal.” Tallene 3, 5 og 7 passer, men 9 gør ikke: 9 = 3 · 3. Et primtal er et positivt heltal større end 1, som kun har 1 og sig selv som positive divisorer. Derfor er 9 et modeksempel, der afkræfter påstanden. Det er vores opgave, ikke et citat fra fagplanen.

De to argumenter gør noget forskelligt. Formlen for summen af to ulige tal dækker alle de heltal, vi har beskrevet med a og b. Tallet 9 viser derimod, at én bestemt påstand om alle ulige tal ikke holder. Flere bekræftende eksempler ville ikke have reddet den påstand. Som forælder kan du spørge: “Har du vist, at det virker her, eller hvorfor det gælder hver gang?”

Fra Fælles Mål til fagplanen

Fælles Mål efter 9. klasse beskriver allerede afgrænsning af problemstillinger, modelleringsprocesser og vurdering af modeller. Det omfatter også forskellen mellem enkelttilfælde og generaliseringer og arbejde med matematiske ræsonnementer. Se side 8.

Fagplanudkastet samler dette under matematiske tænke- og handlemåder og bruger ordet deduktivt i målene. Begge tekster beskriver arbejde med modeller og begrundelser, men organiserer og formulerer det forskelligt. Sammenligningen fortæller ikke, hvilke argumentationsformer en bestemt klasse har brugt før.

Fælles Måls detaljerede færdigheds- og vidensmål er vejledende; se dokumentets forside. Læreren kan forklare, hvilke modeller og argumentationsformer klassen arbejder med nu.