Statistik og sandsynlighed i 7.

Forstå stikprøver, gennemsnit, median og sandsynlighedsmodeller. Med egne dataeksempler og en sammenligning af fagplanudkastet og Fælles Mål.

Tallene skal kunne fortolkes

I fagplanudkastet skal eleverne bruge data til at sammenligne fordelinger, forudsige udviklinger og undersøge sammenhænge. Statistik omfatter både indsamling, analyse og fortolkning. Sandsynlighed undersøges med eksperimenter og enkle modeller. Trinforløbet for 7.–9. klasse begynder på side 12; statistik og sandsynlighed beskrives på side 13 og side 14.

Alle datasæt og forsøg nedenfor er vores eksempler, ikke resultater fra virkelige klasser.

Begynd med spørgsmålet og deltagerne

Vil man undersøge, hvordan skolens elever kommer i skole, er transportform en kategori. Antallet af ture på cykel er tælledata, mens turens varighed kan måles i minutter. Udkastet omfatter kategorier, antal og målinger samt data fra stikprøver og digitale kilder. Se side 13.

Svar fra én klasse behøver ikke repræsentere hele skolen. En undersøgelse sendt til alle kan også give et skævt billede, hvis bestemte grupper sjældnere svarer. Før man sammenligner tallene, må man derfor spørge, hvem de beskriver, hvad der er målt, og hvordan svarene er indsamlet.

Samme gennemsnit, forskellig fordeling

Se på disse to tænkte datasæt:

Datasæt	Værdier	Gennemsnit	Median
A	2, 2, 3, 3, 20	6	3
B	4, 5, 6, 7, 8	6	6

Begge summerer til 30 og har fem værdier, så gennemsnittet er 30/5 = 6. Medianen er den midterste værdi, når tallene står i rækkefølge. Den er 3 i A og 6 i B. Den store værdi 20 trækker gennemsnittet i A op.

Gennemsnit og median er eksempler på deskriptorer: tal, der beskriver et datasæt. Et diagram kan vise forskelle, som ét beskrivende tal skjuler. Udkastet nævner netop deskriptorer, tabeller og diagrammer, også med digitale statistiske værktøjer. Se side 13.

Udvikling og sammenhæng er ikke det samme

En tidsserie viser, hvordan noget ændrer sig over tid. Punkter med to målinger for hver deltager kan bruges til at undersøge en sammenhæng. En synlig sammenhæng viser dog ikke alene, at den ene størrelse er årsag til den anden.

I en tænkt serie med værdierne 10, 12 og 14 kan 16 være et bud på næste værdi, hvis udviklingen fortsætter på samme måde. Forudsigelsen bygger på den antagelse; tallene garanterer den ikke. Det er et eksempel på at skelne mellem observerede data og en forventning til det næste resultat.

Eksempel: Afstand og tid på en gåtur

Her er fem opdigtede gåture, én for hver af fem personer. Vi har valgt tallene for at vise, hvordan to oplysninger kan høre sammen. De er ikke indsamlet fra elever og siger ikke noget om bestemte børns ganghastighed.

Tur	Afstand i kilometer	Tid i minutter
A	1	12
B	2	18
C	2	24
D	3	30
E	4	36

Hver række er et par: Tur C er både 2 kilometer lang og varer 24 minutter. Afstandene og tiderne må ikke sorteres hver for sig, for så kan en tid ende ved den forkerte tur. I punktdiagrammet er afstand den vandrette akse og tid den lodrette. Punkt C står derfor ved (2; 24).

Punkterne ligger overordnet højere, når man bevæger sig mod højre: De længere ture tager mere tid i dette lille datasæt. Men de fem punkter ligger ikke på én ret linje. Ved 2 kilometer er der to forskellige tider, 18 og 24 minutter. Forskellen er 24 − 18 = 6 minutter. En afstand giver altså ikke ét bestemt tidsforbrug i eksemplet.

Det ville også være forkert at slutte, at dobbelt afstand altid giver dobbelt tid. Tur A er 1 kilometer og tager 12 minutter. Tur B er dobbelt så lang, men dens 18 minutter er mindre end 2 × 12 = 24 minutter. Den samlede opadgående tendens er derfor ikke det samme som proportionalitet.

Kan vi så sige, at afstanden forklarer hele tidsforskellen? Nej. Vi har kun valgt par af tal, ikke gennemført et forsøg, hvor alt andet blev holdt ens. Personernes tempo, pauser og ruter er ikke beskrevet. De er mulige forhold at undersøge, ikke forklaringer, som tabellen har bevist. De opdigtede data kan hverken vise årsagen til forskellen mellem B og C eller forudsige en bestemt persons næste gåtur.

Bed eleven vælge en række, finde det tilsvarende punkt og forklare, hvad diagrammet viser. Et dækkende svar i vores eksempel er: “De længere ture tager generelt mere tid, men ved samme afstand kan tiden være forskellig.” Det er vores svarforslag, ikke et elevcitat. Det beskriver mønstret og dets begrænsning uden at gøre det til en regel for alle gåture.

Hvad bygger sandsynligheden på?

Ved to uafhængige kast med en fair mønt kan de ordnede udfald skrives som krone–krone, krone–plat, plat–krone og plat–plat. De er lige sandsynlige under de antagelser. Sandsynligheden for to kroner er derfor 1/4, altså 25 procent.

Man kan udføre forsøget eller simulere det med et program, der vælger krone og plat med lige stor chance ved hvert kast. Andelen af to kroner i en forsøgsserie behøver ikke blive præcis 25 procent. Modellen beskriver sandsynligheden; forsøget giver observerede data.

Udkastet omfatter både programmerbar simulering, eksperimenter og sandsynlighedsmodeller. Se side 13–14. I eksemplet er det afgørende at kunne forklare antagelserne om en fair mønt og uafhængige kast.

Prøv en serie med to møntkast

Vælg 20, 100 eller 1000 forsøg i værktøjet. Hvert forsøg består af to kast. Programmet tæller kun et forsøg som “to kroner”, når begge kast giver krone. Det dividerer derefter antallet af disse forsøg med hele seriens antal forsøg. Det er vores programmerede eksempel, ikke en officiel opgave eller data fra elever.

Et forsøg består af to kast. Modellen giver to kroner sandsynligheden 1/4 = 25 %.

En ny serie erstatter den gamle. Nulstil rydder resultatet og vælger 20 forsøg; den genskaber ikke en tidligere talrække.

Ingen forsøgsserie er kørt.

Programmet bruger browserens Math.random() til nye pseudotilfældige tal. Det er en computermodel, ikke fysiske møntkast eller en garanti for matematisk uafhængighed. Forsøget kræver ingen konto og sender ikke resultater til en server.

Sådan arbejder programmet

Her er fremgangsmåden som pseudokode. “Træk et nyt tal” betyder et nyt kald til browserens Math.random(). Tal under 0,5 bliver til krone; de øvrige bliver til plat. Programmet laver to kald i hvert forsøg, også hvis det første kast gav plat. Modellen forudsætter lige chancer og uafhængige kast; computerens pseudotilfældige tal er en praktisk efterligning, ikke et bevis for fysisk tilfældighed.

Vælg antal forsøg: 20, 100 eller 1000
Sæt tælleren for to kroner til 0
Gentag for hvert forsøg:
    Træk et nyt tal til første kast
    Træk et nyt tal til andet kast
    Hvis begge tal er under 0,5:
        Læg 1 til tælleren for to kroner
Observeret andel = tælleren / antal forsøg
Observeret procent = observeret andel × 100

Der står intet forsøgsresultat, før du trykker “Kør ny serie”. Resultatet viser antallet af forsøg, antallet med to kroner og den beregnede procent. Tabellen viser de første 10 forsøg, ikke hele serien. En ny kørsel erstatter resultatet; den lægger ikke flere forsøg til den gamle serie. “Nulstil” rydder resultatet og vælger 20 forsøg igen. Den nulstiller ikke browserens talgenerator til en bestemt startværdi.

Hvad kan resultatet fortælle?

Som et lille regneeksempel kan vi selv vælge fire udfald: krone–krone, krone–plat, plat–krone og plat–plat. Her er der ét forsøg med to kroner, så andelen er 1/4 = 25 %. Det er vores valgte eksempelrække, ikke et resultat fra værktøjet. Ved en rigtig kørsel er udfaldene ikke valgt på forhånd, og andelen kan blive både lavere og højere end 25 %.

Prøv at notere resultatet af en serie med 20 forsøg og derefter en med 1000. Sammenlign begge med modellens 25 %. Den anden serie er ny, så det er ikke de første 20 forsøg, der er blevet udvidet. En enkelt større serie er heller ikke garanteret at lande tættere på 25 %. Et afvigende resultat ændrer ikke i sig selv sandsynligheden i modellen; det giver anledning til at undersøge forskellen mellem model og observeret andel.

Værktøjet viser det, programmet faktisk har trukket i din browser. Det kræver JavaScript, men ingen konto, og sender ikke forsøgsresultater til en server. Uden JavaScript kan I følge pseudokoden med en mønt: Kast to gange pr. forsøg, skriv begge udfald ned, tæl to kroner og divider med antallet af forsøg. Antagelsen om en fair mønt skal stadig siges højt.

Fra Fælles Mål til fagplanen

Fælles Mål efter 9. klasse nævner allerede deskriptorer, stikprøveundersøgelser og kritisk vurdering af statistiske præsentationer. Eleverne skal også kunne undersøge sammenhænge i omverdenen med datasæt. Det beskriver desuden udfaldsrum, sammensatte sandsynligheder og statistisk og teoretisk sandsynlighed. Se side 8.

Fagplanudkastet beskriver området samlet omkring fordelinger, udviklinger, sammenhænge og modeller og nævner programmerbar simulering direkte i statistikafsnittet. Der er både videreførelse og forskelle i ordvalget. Det er ikke grundlag for at kalde statistik eller sandsynlighedsmodeller nye emner.

De detaljerede færdigheds- og vidensmål i Fælles Mål er vejledende. Se forbeholdet på side 1. Sammenligningen her er ikke en oversigt over prøvekrav.

Statistik og sandsynlighed i 7.–9. klasse